Увидев в углу комнаты лутрофор с красными фигурами, теряю дар речи.

Лутрофор представляет собой вытянутый сосуд с двумя ручками. Он использовался для переноски воды для купания и достигал метра в высоту. Я начинаю подсчитывать виды узоров на лутрофоре. Один. Два. Три. Четыре. Пять. За несколько секунд нахожу примеры пяти из семи видов орнаментов. Сосуд прислонен к стене, но, немного наклонившись, я замечаю, что узор шестого типа расположен на его обратной стороне. Остался последний тип. Удивительно, но сегодня мне недостает уже не того узора, который я не мог найти вчера. В произведениях этой эпохи сложно найти не только примеры скользящей симметрии, но и сочетание вертикальной, вращательной и скользящей симметрии.

Я с рвением ищу малейший намек на искомые узоры, но не могу их найти. Уже немного разочаровавшись, хочу прекратить поиски, когда мой взгляд падает на одну деталь. В центре вазы изображена сцена с двумя персонажами. На первый взгляд, здесь отсутствуют узоры. Однако внизу, справа, один элемент привлекает мое внимание. Ваза, на которую облокотился главный изображенный персонаж. Ваза, изображенная на вазе! Такое применение рекурсии заставляет меня улыбнуться. Я щурюсь: изображение затерто, но, без сомнения, на этой вазе изображен тот самый недостающий узор!

Несмотря на мои последующие попытки, я не смог найти больше ничего подобного. Этот лутрофор, кажется, единственный в своем роде в коллекции в Лувре: только на нем я нашел все семь видов орнаментов.

Чуть дальше меня ждало еще одно открытие. Объемные узоры! Я всегда считал, что перспектива была открыта только в эпоху Ренессанса. Темные и светлые участки, умело разделенные художником, создают игру света и тени, создавая эффект объема геометрических форм, расположенных по ширине гигантского сосуда.

Иду дальше, и передо мной встают новые вопросы. Некоторые элементы вместо узоров украшены сплошной текстурой. Иными словами, в качестве изобразительного средства использовались не узоры, расположенные по кругу, а сплошное покрытие, что, таким образом, снижает вероятность найти геометрические орнаменты.

После работ древних греков идут произведения древних египтян, этрусков и римлян. Я любуюсь образами, созданными резьбой по камню. Прожилки переплетаются, находят одна на другую, создавая рисунок идеальной формы. После этого — как будто данных произведений недостаточно — всматриваюсь в архитектуру самого Лувра, в его своды, плиточный настил, дверные проемы.

Прихожу в себя и не могу больше остановиться. На улице обращаю внимание на балконы жилых домов, рисунок на дорожках для пешеходов, стены подземных переходов…

Этого достаточно, чтобы изменить свой взгляд на мир, чтобы констатировать существование в повседневности математики. Ее проявления можно искать бесконечно, и этот поиск невероятно увлекателен.

И наше приключение только начинается.

2

Рождение чисел

В это время цивилизация Месопотамии активно развивается. В конце IV тысячелетия до н. э. небольшие деревушки преобразовались в цветущие города. В некоторых из них уже проживали десятки тысяч жителей! Технологии развивались так стремительно, как никогда ранее. Какими бы ни были архитекторы, ювелиры, гончары, ткачи, плотники или скульпторы, им приходилось постоянно проявлять чудеса изобретательности, чтобы справляться с задачами, встречавшимися на пути. Металлургия была еще не в полной мере развита, но уже находилась на пути к становлению.

Понемногу дорожная сеть распространилась на весь регион. Культурный и торговый обмен становился все более интенсивным. Иерархия усложнялась, и вид Homo sapiens познал все прелести управления. Эти перемены требовали соответствующей организации. Чтобы создать определенный порядок, чтобы изобрести письменность и войти в историю, нашему виду потребовалось много времени. В настоящей революции, которая произойдет в ближайшее время, математика сыграет роль авангарда.

Покинув северные территории, на которых появились первые оседлые поселения, отправимся ниже по течению реки Евфрат, в регион Шумера, расположенный в Нижней Месопотамии. Именно здесь, в южных степях, находился главный очаг цивилизации. Перемещаясь вдоль реки, мы попадаем в еще очень молодые города Киш, Ниппур и Шуруппак. Впереди их ждут величие и процветание.

А далее за горизонтом внезапно появляется город-муравейник Урук, поражавший весь Ближний Восток своим величием и могуществом. Построенный практически полностью из глиняных кирпичей, город раскинулся на сотню гектаров, и потерявшиеся туристы могут бродить там часами. В центре города были построены несколько монументальных храмов. В них возносили хвалу Ану, отцу всех богов, а также, в частности, Инанне, матери небес. В ее честь возведен храм Эанны, высота которого достигает восьмидесяти метров в длину и тридцати в ширину, что производит неизгладимое впечатление на посетителей.

Каждый год с приближением лета город охватывало всеобщее волнение. Совсем скоро овец должны были погнать в северные районы на пастбища, и возвращались они только в конце жаркого сезона. Следующие несколько месяцев пастухи гуртовали скот, обеспечивали его безопасность и затем приводили овец обратно к их владельцам. Во владении храма Эанны было несколько стад, некоторые из них насчитывали десятки тысяч голов. Во время передвижения стада сопровождали конвои, в отдельных случаях даже включавшие в себя солдат для защиты каравана от возможных опасностей.

Разумеется, владельцы не могли отпустить свой скот, не приняв соответствующих мер предосторожности. Что касается пастухов, здесь все понятно: вернуть они должны были столько же голов, сколько им доверили. Нельзя было допустить, чтобы часть животных отбилась от стада или чтобы пастух втихаря продал животных.

Тогда встал вопрос: как сравнить размер стада до и после выпаса?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, уже спустя несколько столетий придумали систему глиняных жетонов. Есть несколько типов жетонов, отличающихся по форме и нанесенному рисунку, для подсчета как одного, так и нескольких объектов или животных. Для подсчета овец использовались обычные диски с изображением креста на них. Перед выпасом скота в сосуд помещали жетоны, количество которых соответствовало поголовью в стаде. Для того чтобы проверить, одинаково ли количество вернувшихся и ушедших на выгул животных, было достаточно посчитать жетоны и овец. Чуть позже эти жетоны получили название calculi, от лат. «маленькие камушки», а позднее от этого слова образовалось производное calcul.

Этот способ практичен, но имеет свои недостатки. Кто отвечает за сохранность жетонов? Не только пастухов, но и владельцев скота можно заподозрить в недобросовестности: например, последние имеют возможность положить дополнительные жетоны в сосуд во время отсутствия пастуха, а затем потребовать компенсацию за утрату несуществующих голов и таким образом незаконно обогатиться за счет пастуха!

Наши предки искали ответ и нашли его. Жетоны начали складывать в полый шар из глины. Перед тем как его запечатать, каждый ставил свою подпись на лицевой стороне шара-футляра с тем, чтобы потом можно быль удостоверить его подлинность. После этого изменить количество содержащихся внутри жетонов не представлялось возможным, и пастухи могли быть спокойны.

Но этот метод, в свою очередь, оказался неудобным для владельцев. С точки зрения учета зачастую требовалось узнать количество голов в стаде. И как же это можно сделать? Помнить наизусть количество овец? Это не настолько очевидно, если вспомнить, что язык чисел еще не изобрели. Иметь второй незапечатанный сосуд с таким же количеством жетонов? Не очень практично.

В конце концов решение было найдено. С помощью заостренной палочки на поверхность сосуда наносились изображения жетонов, находящихся внутри. Таким образом, стало возможным определять количество жетонов, не нарушая целостность шара.

Этот способ с тех пор использовался повсеместно ввиду очевидных преимуществ. Его стали применять не только при подсчете овец, но и при заключении других соглашений. Специальные жетоны делали для зерновых культур, таких как ячмень или пшеница, шерсти и текстиля, металла, ювелирных изделий, драгоценных камней, нефти или керамики. Даже налоговые поступления стали рассчитывать в жетонах. Так, в конце четвертого тысячелетия в Уруке надлежащая форма заключения любого договора предполагала запечатывание в герметичном глиняном сосуде фишек соответствующего типа и количества.

Так обстояли дела до момента, пока не появилась новая блестящая идея, настолько идеальная в своей простоте, что удивительно, что она не пришла никому в голову раньше. Если количество голов скота написано на внешней стороне сосуда, то зачем вообще складывать в него жетоны? Зачем в принципе нужен такой сосуд? Ведь можно просто обозначить количество голов на куске глины, например на плоской раскатанной плитке.

Так зародилась письменность.

Я возвращаюсь в Лувр. Коллекции кафедры восточных древностей подтверждают достоверность исторических фактов. Первое, на что я обращаю внимание, — размер запечатанных сосудов. Эти небольшие глиняные сферы, которые шумеры изготавливали, накручивая на большой палец, были не больше мячика для тенниса. Размер же самих жетонов не превышал одного сантиметра.