О Пифагоре сложили множество легенд, некоторые из них поистине невероятны. Если проанализировать их, то становится понятным, что у его учеников было очень яркое воображение. Так, остались свидетельства о том, что Пифагор был сыном Аполлона. Значение имени Пифагор расшифровывается как «возвещенный Пифией»: Пифия Дельфийская была прорицательницей храма Аполлона, она предсказала родителям Пифагора, что их сын станет наипрекраснейшим и наимудрейшим из живущих. Так, от рождения ему предначертано великое будущее. Считается, что Пифагор помнил все свои предыдущие жизни. Например, он был героем на полях сражений в Троянской войне, и звали его Эуфорб. В молодости Пифагор участвовал в Олимпийских играх и одерживал победу во всех соревнованиях по кулачному бою (прообраз современного бокса). Ученый впервые вывел музыкальные гаммы. Он мог ходить по воздуху, умер и воскрес, обладал божественными способностями и мог исцелять людей. Ему повиновались животные, и он мог обращать любой материал в золото.

В то время как основная часть этих историй — полнейшая чушь, даже в самые правдоподобные сложно проверить. Правда ли, что Пифагор был первым, кто ввел понятие «математика»? Факты настолько противоречивы, что рядом ученых само существование Пифагора ставится под сомнение. Ими выдвинута гипотеза, что Пифагор был вымышленным персонажем и использовался пифагорейцами как тотемная фигура для поклонения.

В отсутствие более точных сведений о математике перейдем непосредственно к тому, что прославило философа в веках и изучается учениками уже спустя более чем 2500 лет: теореме Пифагора! О чем же эта знаменитая теорема? Сама ее формулировка может показаться удивительной, т. к. в этой теореме ученый объединил две математические категории, которые ранее рассматривались только самостоятельно: прямоугольные треугольники и квадратные числа.

Возьмем наш любимый прямоугольный треугольник с параметрами 3–4–5. Квадратные числа с такими сторонами будут равны соответственно 9, 16 и 25.

Можно заметить удивительную закономерность: 9 + 16 = 25. Сумма квадратов 3 и 4 равна квадрату 5. Можно предположить, что это просто совпадение, но если мы попробуем проверить данную закономерность на других прямоугольных треугольниках, то каждый раз будет получаться то же самое. Возьмем, например, треугольник со сторонами 65–72–97, который мы можем найти уже в вавилонских таблицах. Соответственно, квадратные значения будут равны: 4225, 5184 и 9409. Сумма 4225 и 5184 равна 9409. Когда приводятся примеры с такими большими числами, сложно поверить в чистое совпадение.

Вы можете проверить, взяв значения сторон любого прямоугольного треугольника — маленького или большого, широкого или узкого, — это правило будет работать всегда! В прямоугольном треугольнике сумма квадратов сторон, образующих прямой угол (катетов), равна квадрату третьей стороны (гипотенузы). И это правило применимо и в обратную сторону: если в треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы — это прямоугольный треугольник. Это и есть теорема Пифагора!

Вполне вероятно, что на самом деле первооткрывателем этой теоремы был не Пифагор и даже не его ученики. Даже если в Вавилоне и не сформулировали данную теорему в том виде, в котором это будет показано далее, есть основания полагать, что уже тогда, за тысячу лет до этого, стали известны соответствующие тройки чисел. Иначе как шумеры смогли бы перечислить все эти значения сторон прямоугольных треугольников в Плинтонской табличке? В Древнем Египте и Китае также с большой долей вероятности знали о закономерности, подтвержденной впоследствии в теореме. Это следует из комментариев к «Математике в девяти книгах», добавленных в более поздних редакциях.

Некоторые считают, что Пифагор был первым, кто продемонстрировал доказательство этой теоремы. Тем не менее однозначного подтверждения этому факту нет, и первым источником, в котором приводится доказательство, является труд Евклида «Начала», датируемый тремя веками спустя.

5

Немного о методе

Для греческих математиков возможность доказать теорему становится ключевым моментом. Ни одна теорема не может считаться состоятельной, если ее не сопровождает доказательство, иными словами, логичное и точное подтверждение. Крайне важным было суметь предметно продемонстрировать доказательство, т. к. в противном случае оставалось сомнение в совершенстве теоремы и были бы возможны неожиданные сюрпризы. Некоторые методы, несмотря на то что широко известны и повсеместно используются, не всегда хорошо работают.

Вот пример. Помните, в папирусе Ахмеса описывалось, как начертить квадрат и круг с одинаковой площадью? В этих рассуждениях, без сомнения, есть ошибка. Отклонения незначительные, тем не менее они есть. При измерении площадей фигур оказывается, что разница составляет приблизительно 0,5 %! Ну что же, для землемеров такая точность достаточна, однако для теоретиков математики недопустима.

Даже среди гипотез Пифагора были ошибочные суждения. Одно из таких заблуждений касалось соизмеримости длин. Пифагор полагал, что в геометрии любые величины соизмеримы, т. е. всегда можно найти достаточно малую величину для измерения любых двух длин. Представьте два отрезка длиной 9 и 13,7 см соответственно. В Древней Греции еще не использовались десятичные значения для измерений, и, таким образом, второй отрезок нельзя было измерить в сантиметрах. Разумеется, нет ничего сложного в том, чтобы определить длину отрезка единицами в десять раз меньшими, чем сантиметры, соответственно, длины отрезков составят 90 и 137 мм. Пифагор был убежден, что любые два отрезка соизмеримы, и их длины можно определить в соответствующих единицах.

Это утверждение опроверг древнегреческий философ-пифагореец Гиппас из Метапонта. Ученому приписывают открытие существования несоизмеримых отрезков, а именно стороны и диагонали квадрата! Какую бы вы ни выбрали единицу измерения, сторона квадрата и его диагональ не будут соизмеримы в целых выбранных единицах. Гиппас привел логическое обоснование этой гипотезы и не оставил никакого сомнения в ее справедливости. Пифагор и его последователи были настолько сильно оскорблены этим, что исключили Гиппаса из школы. В некоторых источниках даже говорится о том, что ученого сбросили с обрыва в море его ученики!

Математикам эти истории могут показаться ужасающими. Можно ли когда-либо чувствовать себя полностью уверенным? Каково это, жить в постоянном страхе того, что в один прекрасный день математическое открытие оборвет вашу жизнь? И треугольник со сторонами 3–4–5 — в самом ли деле он прямоугольный? Нет ли вероятности, что в один из дней выяснится, что, казавшийся абсолютно прямым, он все же не идеален?

Даже сегодня нередки случаи, когда математики становятся жертвами ошибочных догадок. Именно поэтому, продолжая традиции своих древнегреческих предков, современные математики четко разграничивают суждения, которые могут быть однозначно доказаны, так называемые теоремы, и те из них, которые еще не доказаны, получившие название «гипотезы».

Одной из самых известных гипотез нашего времени является гипотеза Римана. Многие математики опираются на ее справедливость и основывают на ней свои исследования. Если когда-нибудь эта теорема будет доказана, их работа также окажется подтвержденной. Но если ее опровергнут, то и все их труды будут напрасны. Ученые XXI в. намного более благоразумны, чем их предшественники из Древней Греции, тем не менее можно предположить: если кому-то удастся опровергнуть гипотезу Римана, даже в текущих условиях на этого человека вполне предсказуемо обрушится гнев некоторых коллег.

Чтобы избежать этого постоянного страха ожидания опровержения, математикам требуется приводить доказательства. Нет, мы никогда не узнаем о том, что треугольник со сторонами 3–4–5 не является прямоугольным. Это точно. И эта уверенность проистекает из теоремы Пифагора, которая подтверждает это. Любой треугольник, сумма квадратов катетов которого равна квадрату гипотенузы, является прямоугольным. Это суждение было для математиков Месопотамии гипотезой, но благодаря древним грекам оно стало теоремой. Уф!

Так в чем же заключается доказательство? Теорема Пифагора — не только одна из самых известных теорем, она также имеет множество различных доказательств. Их насчитывается несколько десятков. Некоторые из них сделаны представителями цивилизаций, которые даже не слышали о Евклиде или Пифагоре — например, подтверждение встречается в китайском произведении «Математика в девяти книгах». Иные доказательства сформулированы уже после Пифагора — с той лишь целью, чтобы остаться в истории и поупражняться в рассуждениях. Так, среди тех, кто сформулировал собственные доказательства теоремы Пифагора, — знаменитый итальянский изобретатель Леонардо да Винчи, а также двадцатый президент США Джеймс Абрам Гарфилд.

Один из наиболее распространенных принципов доказывания — принцип мозаики: если две геометрические фигуры могут быть сложены из равных элементов, то их площади равны. Обратимся к примеру такого доказательства, которое привел в III в. н. э. ученый из Китая Лю Хуэй.

Конец ознакомительного фрагмента