2

Счастливый билет

Среди колледжей Кембриджского университета Гонвилл и Гай — четвертый по старшинству, третий по богатству и второй по числу выпускников, получивших Нобелевскую премию. А еще это один из немногих колледжей, где каждый день подают обед из трех блюд, поэтому студенты с удовольствием проводят время в неоготическом трапезном зале с уникальными витражными окнами.

На одном из витражей изображена спираль ДНК — дань уважения бывшему студенту Фрэнсису Крику, на другом — пересекающиеся круги, в честь Джона Венна. Запечатлена в стекле и шахматная доска, каждая клеточка которой окрашена, на первый взгляд, случайным образом — в память об одном из основателей современной статистики Рональде Фишере.

Выиграв стипендию для обучения в колледже Гонвилл и Гай, Фишер провел здесь три года, изучая эволюционную биологию. Диплом он получил перед самым началом Первой мировой войны и предпринял несколько попыток вступить в ряды Британской армии, но неизменно получал отказ по причине плохого зрения. Всю войну Фишер преподавал математику в известных частных школах, а в свободное время трудился над научными статьями. Когда война стала близиться к концу, Фишер принялся искать другую работу и получил предложение занять место главного специалиста по статистике в лаборатории Карла Пирсона. Такой вариант его не устраивал — Фишер не мог простить Пирсону, что годом ранее тот раскритиковал в печати одну из его работ.

Вместо этого Фишер принял приглашение от Ротамстедской опытной станции, где занялся исследованиями в области сельского хозяйства. Ученого интересовали не столько результаты экспериментов, сколько их организация для получения максимальной эффективности. «Консультироваться со статистиком по окончании эксперимента — зачастую все равно, что просить провести посмертную экспертизу, — говорил он. — Возможно, он сможет подсказать, отчего эксперимент скончался».

Однажды Фишера заинтересовала проблема, с которой столкнулись работники станции: как правильно распределять химикаты при обработке растений на экспериментальном участке земли? Аналогичная проблема возникает и при распылении химикатов на больших территориях. При сравнении воздействия различных лекарственных препаратов на сельскохозяйственные культуры необходимо рассеять их на обширной площади. Однако если выбирать места применения химикатов в случайном порядке, есть риск, что раз за разом выбор будет падать на одни и те же участки. В этом случае все препараты в конце концов окажутся в одном месте и эксперимент провалится.

Допустим, мы хотим провести тестирование четырех химикатов на шестнадцати пробных участках, расположенных сеткой четыре на четыре. Как мы можем распылять препараты на территории без риска, что все они попадут в одно и то же место? В своем фундаментальном исследовании «Организация экспериментов» Фишер предложил систему распыления четырех препаратов, при которой они появляются в каждом ряду и каждой колонке только один раз.

Если экспериментальное поле имеет плодородную почву на одном участке и скудную — на другом, то все химикаты попадут и на тот и на другой тип земли. Оказалось, предложенный Фишером паттерн уже имел широкое распространение в другой области — в классической архитектуре, где был известен как «латинский квадрат».

Латинский квадрат

Провальный квадрат

На витраже в колледже Гонвилл и Гай изображен латинский квадрат большего размера, и вместо букв, обозначающих разные химикаты, его секции помечены разными цветами. Но не только старинные стены отдают дань идеям Фишера — они востребованы и в современной науке. Необходимость создать нечто случайное и сбалансированное одновременно возникает во многих областях производства, включая медицину и архитектуру. Присутствует она и в лотерее.

Лотереи предназначены для того, чтобы забирать у людей деньги. Они возникли в качестве мягкой формы налогообложения и часто применялись для поддержки крупных строительных объектов. Возведение Великой Китайской стены было оплачено из доходов от лотереи, организованной династией Хань. Доходы от лотереи, проведенной в 1753 году, пошли на финансирование Британского музея. Многие университеты Лиги плюща были построены на деньги, вырученные от лотерей, организованных колониальным правительством.

Сегодня лотереи выглядят по-разному. Наиболее прибыльной частью индустрии в наши дни стали скретч-карты. В Соединенном Королевстве они обеспечивают четверть доходов от Национальной лотереи, а государственные лотереи США зарабатывают на распространении таких карт десятки миллиардов долларов. На выплату призов уходят миллионы долларов, поэтому организаторам приходится проявлять большую осторожность: они не могут допустить, чтобы под защитной фольгой прятались случайные числа, потому что возникает риск, что выигрышей выпадет больше, чем лотерея в состоянии оплатить. В распространении скретч-карт тоже требуется известная предусмотрительность: нельзя, чтобы все счастливые билеты попали в один город. В лотерее должен присутствовать элемент случайности, чтобы игра оставалась честной, но операторы вынуждены настраивать систему так, чтобы победителей не оказалось слишком много или чтобы все они не оказались в одном месте. Или, если воспользоваться выражением статистика Уильяма Госсета, здесь нужна «контролируемая случайность».

О лотерейных закономерностях Мохан Шривастава задумался в июне 2003 года, когда друзья в шутку подарили ему целую охапку скретч-карт. На одной из них было изображение решетки с крестиками-ноликами. Шривастава стер защитный слой фольги и обнаружил три одинаковых символа в одном ряду. Он получил три доллара и повод для раздумий: как организаторы лотерей отслеживают свои призы?

Шривастава работал статистиком в Торонто и подозревал, что в каждой карточке содержится код, который показывает, является ли она выигрышной. Он интересовался взломом кодов и был знаком с Биллом Татом, британским математиком, разгадавшим в 1942 году шифр нацистского «Лоренца» и совершившим то, что позже назвали «одной из величайших интеллектуальных побед Второй мировой войны». По дороге на местную автозаправку, где его ждал заслуженный выигрыш, Шривастава размышлял о том, как осуществляется распространение лотерейных «крестиков-ноликов». У него был солидный опыт работы с подобными алгоритмами — прежде Шривастава работал консультантом в компании по добыче полезных ископаемых, и в его обязанности входило выявление месторождений золота, а еще школьником в качестве домашнего задания написал компьютерную программу для игры в крестики-нолики. Шривастава заметил, что на защитной фольге карточек пропечатана сетка из цифр размером три на три. Возможно, в них и кроется разгадка?

В тот же день Шривастава снова заехал на заправку и купил пачку скретч-карт. Изучив цифры на фольге, он обнаружил, что некоторые встречаются по нескольку раз, а другие — только однажды. Просмотрев все карточки, он пришел к выводу: если в ряду есть все три «редкие» цифры, карта чаще всего оказывается выигрышной. Система оказалась простой и удобной. Оставалось лишь найти нужные карточки.

Увы, выигрышные скретч-карты встречаются не так уж часто. К примеру, рано утром 16 апреля 2013 года в штате Кентукки машина протаранила дверь продуктового магазина. Из салона выскочила женщина, сгребла лоток с лотерейными картами (их было полторы тысячи штук) и скрылась. Когда несколько недель спустя ее арестовали, оказалось, что ей удалось выиграть всего двести долларов.

Хотя Шривастава и располагал надежным и законным методом обнаружения выигрышных карт, заработать на нем он все равно бы не смог. Выяснив, сколько времени ему придется потратить, чтобы просеять огромное количество скретч-карт в поисках «счастливых», он пришел к выводу, что бросать работу ему пока рано, но рассказать организаторам лотереи о своем открытии все-таки следует. Шривастава пытался связаться с ними по телефону, но на том конце провода, видимо, решили, что имеют дело с очередным ненормальным, одержимым сомнительной стратегией выигрыша, и не стали с ним разговаривать. Тогда статистик поделил двадцать нетронутых скретч-карт на две группы: выигрышную и проигрышную, и отправил их курьером в службу безопасности лотереи. В тот же день ему позвонили: «Нам надо поговорить».

Вскоре лотерея «крестики-нолики» исчезла с прилавков магазинов. Организаторы сослались на недосмотр разработчиков. Однако, изучая другие лотереи со скретч-картами в Канаде и США, Шривастава догадался, что у них могут быть те же проблемы.

В 2011 году, несколько месяцев спустя после того, как о Шриваставе написал журнал Wired, журналисты обнаружили в Техасе необычайно удачливого игрока в лотерею со скретч-картами. С 1993 по 2013 год Джоан Гинтер сорвала четыре джекпота на общую сумму 20 миллионов 400 тысяч долларов. Было ли тут дело только в удаче? Хотя Гинтер так и не раскрыла причину своих многочисленных выигрышей, многие подозревали, что не последнюю роль в ее достижениях сыграла докторская степень по статистике.

Скретч-карты — не единственная разновидность лотереи, которую можно обмануть при помощи научного анализа. В традиционных лотереях нет контролируемой случайности, но от игроков с математической жилкой они не защищены. Но если в системе есть брешь, успешную стратегию можно разработать даже на основании безобидной студенческой работы.