Вот американский пример. В штате Массачусетс на федеральных и президентских выборах с 2000 года республиканцы получали в целом более трети голосов. Тем не менее в последний раз республиканцы занимали в этом штате хотя бы одно место в палате представителей аж в 1994 году. Подтасовка? Похоже, нет. Если эта треть республиканских избирателей распределена по территории штата более или менее равномерно, то, как бы вы ни проводили границы округов — исключая экстремальные варианты, при которых границы огибают дома отдельных граждан, — доля сторонников Республиканской партии в каждом округе составит приблизительно одну треть. Демократы победят везде. Именно так и происходило все эти годы.
Слева: предложение Светлых, при котором границы двух округов оставлены на усмотрение Темных. Справа: наиболее компактный вариант, который Темные могли бы выбрать
Во время одних реальных выборов математики показали, что такой эффект может оказаться неизбежным, как ни проводи границы, по крайней мере если не делить на части отдельные городки. В 2006 году, когда Кеннет Чейз боролся против Эдварда Кеннеди на выборах в сенат США, Массачусетс был разделен на девять избирательных округов. Чейз получил 30 % голосов, но проиграл во всех девяти округах. Компьютерный анализ вариантов показал, что ни один набор городов, объединенных в округ, даже если брать города, разбросанные по территории штата произвольным образом, не принес бы Чейзу победу. Его сторонники были распределены по большинству городов довольно равномерно, и обеспечить ему победу не удалось бы, какие границы ни проведи.
В уже знакомой нам Джерримандии, когда Темные выиграли во всех пяти округах, Светлые опротестовали это деление на округа на основании того, что прямоугольные округа получились слишком длинные и узкие, так что Темные, очевидно, занимались распылением. Суд постановил, что округа должны быть более компактными. Светлые разработали схему трех компактных округов и великодушно предложили Темным самим решить, как разделить еще на два округа оставшиеся территории. Темные запротестовали, потому что такое разбиение отдавало Светлым три округа, а Темным оставляло только два, хотя сторонников у них было больше.
Это деление показывает еще два недостатка использования критерия компактности как средства обнаружения манипуляций. Хотя деление и компактно, оно все равно отдает Светлым 3/5 округов при наличии у них всего 2/5 голосов. К тому же не существует способа разбить оставшиеся территории на два компактных округа. Из-за особенностей географии в Джерримандии трудно добиться компактности и справедливости одновременно. А может быть, и невозможно, в зависимости от определений.
* * *
Поскольку критерий компактности небезупречен, подумаем, как еще можно распознать деление на округа в пользу одной из партий. Данные голосования говорят нам не только об исходе выборов, но и о том, что было бы, если бы распределение полученных сторонами голосов сдвинулось на определенную величину. Например, если бы при голосовании в каком-то округе было отдано 6000 голосов за Темных и 4000 за Светлых, то Темные выиграли бы. Если бы 500 избирателей перебежали от Темных к Светлым, то Темные все равно выиграли бы, но если бы мнение изменил 1001 избиратель, то Темные проиграли бы. Если бы голоса распределились как 5500 за Темных и 4500 за Светлых, то достаточно было бы переманить всего 501 избирателя, чтобы изменить результат. Короче говоря, по данным голосования в округе можно узнать не только о том, кто победил, но и о том, насколько близки результаты соперников.
Можно выполнить этот расчет для каждого округа, собрать результаты воедино и посмотреть, как распределение полученных мест меняется со сдвигом голосов, и получить кривую места-голоса. (На самом деле это ломаная линия с множеством прямолинейных участков, но для удобства ее сглаживают.) Рисунок слева показывает, как приблизительно должна выглядеть такая кривая для неподтасованных выборов. В частности, эта кривая должна пересекать 50 %-ный порог для мест при 50 %-ном распределении голосов, и она должна быть симметричной по обе стороны от этой точки при повороте на 180º.
На рисунке справа показана кривая места-голоса для карты округов во время выборов в конгресс штата Пенсильвания, при этом на горизонтальной оси отложены голоса Демократической партии. Демократам требовалось около 57 % голосов, чтобы получить 50 % мест. Эта карта впоследствии была изменена решением законодательного собрания штата.
В нескольких случаях Верховный суд США отверг обвинения в манипуляциях, сделанные на основании подобных расчетов, как, впрочем, и обвинения, основанные на недостаточной компактности округов. В деле LULAC v. Perry 2006 он все же принял решение об изменении некоторых границ избирательных округов в Техасе на том основании, что границы одного из округов противоречили Закону об избирательных правах. Хотя Верховный суд и объявил изменение избирательных округов в пользу одной из партий неконституционным, он фактически не отменил целиком ни одной карты округов.
График зависимости распределения мест от числа голосов. На горизонтальной оси отложен процент голосов, отданных за одну партию (показан интервал от 30 до 70 %). Вертикальная ось показывает процент мест, которые партия получила бы с таким количеством голосов
Главная причина, которую суд привел в обоснование своего отказа, состояла в том, что методы вроде кривой места-голоса построены на гипотетических предположениях относительно поведения избирателей в иных обстоятельствах. Возможно, для юристов это звучит убедительно, но математически это чепуха, поскольку кривая строится на основе реальных данных по голосованию и по точно определенной процедуре. Перенос голосов при расчете кривой не зависит от того, как конкретный избиратель может поступить в реальности. Это как посмотреть на счет в баскетбольном матче и сказать, что при счете 101:97 игра, должно быть, шла на равных, а при счете 120:45 — нет. Вы при этом не делаете предположений о том, как могли бы повести себя отдельные игроки, если бы играли лучше или хуже. Так что этот момент можно добавить к длинному и ничем не примечательному списку случаев неспособности закона понять или хотя бы просто оценить простую математическую логику. Якобы гипотетический характер этого совершенно строгого и основанного на фактах алгоритма служит предлогом для отказа от изменения карты избирательных округов Техаса.
* * *
В случае сомнительных юридических решений бесполезно поучать судей, поэтому сторонники математических методов распознавания манипуляций занялись поисками других показателей и критериев, которые невозможно отбросить по надуманным основаниям. Манипуляции заставляют сторонников одной из партий бесполезно тратить значительное количество голосов. Как только ваш кандидат получает большинство, все дополнительные голоса становятся лишними и никак не влияют на результат. А раз так, то при справедливом выборе границ избирательных округов обе партии должны тратить бесполезно примерно одинаковое число голосов. В 2015 году Николас Стефанопулос и Эрик Макги нашли новый метод подсчета бесполезных голосов — анализ разрыва в эффективности [N. Stephanopoulos and E. McGhee. "Partisan gerrymandering and the efficiency gap", University of Chicago Law Review 82 (2015) 831–900.]. В деле Gill v. Whitford 2016 суд Висконсина объявил карту избирательных округов на выборах в законодательное собрание штата незаконной, и основанием для этого решения стал разрыв в эффективности. Чтобы посмотреть, как вычисляется разрыв в эффективности, упростим процесс до выбора из двух кандидатов.
Существует два основных способа сделать ваш голос бесполезным. Голос, отданный за проигравшего кандидата, бесполезен потому, что вы могли с тем же успехом не голосовать вообще. Лишний голос, отданный за победителя уже после того, как он набрал 50 %, бесполезен по той же причине. Справедливость этих утверждений зависит от реальных результатов и определяется задним числом: невозможно с уверенностью сказать, что ваш голос бесполезен, пока неизвестны результаты выборов. В ходе всеобщих выборов 2020 года в Великобритании кандидат от лейбористов в моем избирательном округе получил 19 544 голоса, а кандидат консерваторов — 19 143 голоса. Лейборист победил с перевесом в 401 голос при общем числе голосов, отданных за две партии, равном 38 687. Если бы какой-то избиратель решил не голосовать, перевес все равно составил бы 400 голосов. Но если бы от голосования воздержалось чуть больше 1 % сторонников Лейбористской партии, победил бы кандидат консерваторов.
Согласно определению, бесполезными у Консервативной партии стали все 19 143 голоса, а у Лейбористской партии — 200 голосов. Разрыв эффективности показывает, насколько у одной партии бесполезных голосов больше, чем у другой. В данном случае он равен:
...Число бесполезных голосов консерваторов
минус
Число бесполезных голосов лейбористов
разделить на
Полное число голосов.
То есть (19 143–200)/38 687, что составляет +49 %.
И это всего один избирательный округ. Идея метода в том, чтобы рассчитать совокупный разрыв в эффективности для всех избирательных округов и добиться, чтобы законодатели установили целевое значение. Разрыв в эффективности всегда лежит между –50 % и +50 %, а справедлив разрыв, равный 0 %, поскольку в этом случае у обеих партий бесполезными оказывается одинаковое число голосов. В итоге Стефанопулос и Макги предложили считать, что разрыв в эффективности, выходящий за рамки ±8 %, указывает на манипуляции.
