Практическое применение теории катастроф заключается в том, что огромное количество явлений, встречающихся в мире, она позволяет свести к очень ограниченному набору стандартных форм, и уже с их помощью провести количественные и качественные оценки динамично изменяющихся феноменов. Так как методы теории катастроф универсальны, они могут использоваться в сфере политики, экономики, управления, медицины, образования и т. п. Таким образом, научное познание получает новые эффективные инструменты для исследования феноменов реальности, до настоящего времени недоступных традиционным методикам и технологиям.
Фракталы в природе и организме человека
Статус математики в отношении природных процессов долгое время был не определён. В действительности нет точек, прямых линий, идеальных кругов и других фигур геометрии Евклида. С точки зрения здравого смысла, математика — это игра разума и задача познания с целью лишь описания явлений и их классификации. Поэтому древнегреческое знание не развило физику и естествознание. Создать физику и другие естественные науки — значит применить к действительности однородные точные математические и геометрические законы.
Только в Новое время Галилей, Ньютон и их последователи смогли обнаружить эти формы в механическом движении и простых механических системах. Тем не менее многие природные системы обладают огромной степенью сложности, несравнимой с использованием простых образов классической геометрии, поэтому их моделирование на такой основе оказывается невозможным. Действительно, как построить модели кроны деревьев, горного хребта, изрезанной береговой линии в объектах евклидовой геометрии? Как смоделировать сложные биологические объекты, обладающие многообразной конфигурацией, такие как нейронная сеть, система кровообращения, ацинусное строение легких, структура почек?
Столь сложной оказывается и динамическое поведение природных процессов, например, турбулентность, ритмы сердца и головного мозга. Для моделирования подобных явлений в конце XX века был создан новый тип геометрии, получившей название фрактальной. Термин фрактал был введён американским математиком Бенуа Мандельбротом в 1983 году, когда вышла его книга «Фрактальная геометрия природы». Фракталы — это, прежде всего, язык геометрии, но они выражаются в алгоритмах, наборах своего рода математических процедур, которые трансформируются в геометрические формы с помощью компьютеров. Основной принцип строения фрактала «всё во всём» или, как отмечают математики, он обладает инвариантной структурой относительно масштабирования. Это значит, что фрактал проявляет одинаковое строение на разных уровнях масштаба и, кроме этого, обладает дробной размерностью, в отличие от линий и площадей, имеющих целостное значение.
Множество Мандельброта. Построено в программе WinSet 3.0
Множество Жюлиа. Построено в программе WinSet 3.0
Существует два типа основных алгоритмов, каждый из которых имеет огромное многообразие комбинаций: линейные и нелинейные. Линейный алгоритм можно представить в виде копировальной машины, способной сжимать, т. е. уменьшать изображение, или увеличивать его. Таким образом, благодаря повторяющимся операциям, формируется образ объекта. Примером работы подобных алгоритмов служит изображение листа папоротника, треугольник Вацлава Серпинского, впервые описавшего этот объект ещё в 1916 году. Треугольник Серпинского обладает самоподобием, выражающемся в том, что каждая его часть, сколь малой она не была бы, воспроизводит структуру всего большого треугольника [17].
Другой тип фрактальных алгоритмов является нелинейным. Для этого используются итерационные циклы, имеющие степенные функции, иногда реализуемые в комплексных числах. Собственно такое изображение было получено Мандельбротом и получило название в его честь.
Несмотря на то, что эти функции достаточно просты, при проведении компьютером огромного количества операций с их помощью удаётся строить модели, в принципе, любых природных и биологических объектов. Поэтому фрактальная геометрия является языком объектов, и сомнения в её применимости к многообразию природы отпадают. Причём это не только просто воспроизведение природных структур, фрактальная геометрия даёт количественные характеристики тех или иных сложных конструктов, выраженные в понятиях фрактальной размерности, например, Хаусдорфа — Безиковича, Минковского и других [18].
Оказалось, что и динамические системы, демонстрирующие сложное хаотическое поведение при их моделировании, воспроизводят фрактальную структуру. К таковым можно отнести аттрактор Лоренца, возникающий в погодных явлениях, универсальность Фейгенбаума в турбулентности и даже в броуновском движении. Если при визуализации тех или иных процессов (для этого используется аппарат построения фазового пространства состояний) возникает фрактал, то, как правило, это след хаоса.
В человеческом организме много фракталоподобных структур, но чистые фракталы и в природе, и в биологических системах практически не встречаются. Как уже отмечалось, фракталы обладают самоподобием, или как говорят математики, они инвариантны относительно масштабирования, демонстрируя одинаковую структуру на разных уровнях рассмотрения. Фрактальные структуры, как правило, являются следом хаотических процессов. Поэтому динамический детерминированный хаос имеет тесную связь с этими объектами и проявляет себя в фазовом пространстве состояний в виде фрактальных или фракталоподобных структур.
Биологические системы имеют множество фракталоподобных образований [19]. К ним относятся структура кровеносных сосудов, нейронные сети, в том числе коры головного мозга. Фрактальное строение тонкого кишечника заметно увеличивает поверхность всасывания. Наиболее явно демонстрирует фрактальную природу структура дыхательных путей, которая обеспечивает более высокий уровень газообмена. Фракталоподобной структурой обладают сердечные артерии, что повышает устойчивость к повреждающим факторам, которые могут вызвать инфаркт миокарда. Несмотря на то, что анатомические и гистологические фрактальные структуры выполняют разные функции в организме, имеется нечто общее, что их объединяет. А именно, они обеспечивают запас прочности и устойчивости к различным действующим факторам, которые могут иметь и повреждающее воздействие.
Особый интерес представляет физиология и клиническая практика динамической работы сердца. Традиционно в физиологии и медицине сложилось представление о том, что ритм сокращений здорового сердца носит устойчивый регулярный характер, т. е. интервалы между сокращениями (ударами) сердца являются постоянными. Данные записи стандартного ЭКГ подтверждали эту точку зрения. Тем не менее тщательный анализ показал, что даже у здоровых людей ритм подвержен значительным колебаниям. На протяжении почти полувека господствовала концепция гомеостаза, согласно которой физиологические системы стремятся поддерживать постоянство своей среды и функций, возвращаясь, несмотря на флюктуации, к состоянию устойчивого равновесия.
Согласно этой концепции, вариабельность ритма сердца (ВРС) — это просто временные ответные реакции на воздействия внешних факторов. Многообразные влияния на ВРС, включая нейрогуморальные механизмы высших нервных центров, обуславливают нелинейный характер изменений ритма сердца, т. е. в основе феномена ВРС лежат случайные и случайно-подобные процессы, следовательно, наиболее точно и полно отображающими ВРС методами должны служить методы нелинейной динамики. Используя подход к вариабельности ритма сердца как к стохастическому феномену, следует пересмотреть методологию её изучения. В этом случае стандартные математические методы анализа оказываются ограниченными, так как являются неспособными оценивать явления, принципиально отличающиеся от традиционных линейных процессов. Поэтому становится понятным несостоятельность широко применяемых в клинике линейных математических методов и возникает необходимость в разработке новых способов оценки ВРС, которые бы позволили наиболее точно характеризовать это явление [20].
Совсем другая картина обнаруживается, если временная дискретизация ЭКГ в его стандартной форме 0,5–0,25 с заменяется на 1–4 мс. В результате ритм сердца приближается к хаотическому, а его визуализация в фазовом пространстве демонстрирует фрактальную природу. Применение методов оценки фрактальной размерности подобных образов устанавливает прямо противоположную парадигму. Именно здоровое сердце при такой дискретизации сигнала обнаруживает хаотичность своей работы. И наоборот «скатывание» в периодику и регулярность, проявляющееся в виде изменения фрактальных показателей, свидетельствует о надвигающейся катастрофе, что подтверждается в современных клинических исследованиях.
Новая парадигма утверждает, что нерегулярность, непредсказуемость, хаотичность являются характеристиками здоровья, а снижение изменчивости, потеря хаотичности, возникновение выраженной периодичности служат признаками надвигающейся или уже существующей патологии.
