Стивен Строгац
Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной
Введение
Без математического анализа [В оригинале используется слово calculus, у которого в русском языке нет однозначного соответствия. В английском языке это слово применяется как для математического анализа или для анализа бесконечно малых в целом, так и для наименования различных областей высшей математики, для которых мы используем слова «анализ» (например, vector calculus — векторный анализ) или «исчисление» (например, differential calculus — дифференциальное исчисление). В данной книге под термином «анализ» будет подразумеваться анализ бесконечно малых, который объединяет интегральное и дифференциальное исчисление. Прим. пер.] у нас не было бы ни мобильных телефонов, ни компьютеров, ни микроволновых печей. Ни радио, ни телевидения. Ни УЗИ для будущих мам, ни GPS для заблудившихся путешественников. Мы не расщепили бы атом, не раскрыли бы геном человека и не отправили бы астронавтов на Луну. Возможно, у нас даже не было бы Декларации прав человека.
Любопытно, что историю мира этот загадочный раздел математики изменил навсегда. Как же могло так случиться, что некая теория, изначально занимавшаяся малыми изменениями, в итоге изменила цивилизацию коренным образом?
Суть ответа кроется в замечании, которое физик Ричард Фейнман сделал во время обсуждения Манхэттенского проекта с писателем Германом Воуком. Воук собирал материал для крупного романа о Второй мировой войне, который планировал написать, и отправился в Калтех [Калтех — Калифорнийский технологический институт. Частный университет в Калифорнии, один из лучших в США. Прим. пер.], чтобы побеседовать с физиками, работавшими над созданием бомбы, а Фейнман был одним из них. Когда они прощались после интервью, Фейнман спросил Воука, знает ли тот матанализ. Воук признался, что нет. «Вам следовало бы ему поучиться, — сказал Фейнман. — Это язык, на котором говорит Бог» [Wouk, The Language God Talks, 5.].
Действительно, Вселенная — глубоко математическая сущность [Альтернативное мнение можно найти в книгах: Barrow and Tipler, Anthropic Cosmological Principle; Rees, Just Six Numbers; Davies, The Goldilocks Enigma; Livio, Is God a Mathematician?; Tegmark, Our Mathematical Universe; и Carroll, The Big Picture. С философскими аспектами анализа можно познакомиться в Simon Friederich, Fine-Tuning, Stanford Encyclopedia of Philosophy, https://plato.stanford.edu/entries/fine-tuning/.], хотя причин этого явления никто не понимает. Возможно, так устроил Бог. А может, это единственный способ нашего в ней существования, ибо нематематические вселенные не могут создать жизнь, достаточно разумную для того, чтобы задать такой вопрос. В любом случае то, что наша Вселенная подчиняется законам природы, которые всегда выражены на языке анализа в виде предложений, называемых дифференциальными уравнениями, — весьма таинственный и изумительный факт. Такие уравнения описывают разницу между чем-то прямо сейчас и той же величиной мгновение спустя или между чем-то прямо здесь и бесконечно близко. Детали отличаются в зависимости от конкретной области природы, но структура законов всегда одна и та же. Иначе говоря, все выглядит так, словно у Вселенной существует какой-то код, некая операционная система, которая оживляет все в конкретный момент в конкретном месте. Анализ подключается к этому порядку и выражает его.
Исаак Ньютон первым увидел эту тайну Вселенной. Он обнаружил, что орбиты планет, ритм приливов и отливов и траектории пушечных ядер можно описать, объяснить и предсказать с помощью небольшого набора дифференциальных уравнений. Сегодня мы называем их законами движения и гравитации Ньютона. Мы обнаружили, что эта закономерность сохраняется всякий раз, когда мы открываем какую-то новую часть Вселенной. От старых стихий — земли, воздуха, огня и воды, до новейших электронов, кварков, черных дыр и суперструн — все во Вселенной подчиняется правилам дифференциальных уравнений. Бьюсь об заклад, что именно это имел в виду Фейнман, когда говорил, что на этом языке разговаривает Бог. Если что-то и заслуживает называться тайной Вселенной, то это дифференциальное исчисление.
Случайно открыв этот странный язык, сначала в области геометрии, а потом в коде Вселенной, затем научившись бегло разговаривать на нем и расшифровывать его идиомы и тонкости и в конце концов используя его способность к прогнозированию, люди стали применять анализ, чтобы переделать мир.
Это центральный вопрос нашей книги.
А коль это так, то ответ на «главный вопрос жизни, Вселенной и всего такого» [Adams, Hitchhiker’s Guide, и Gill, Douglas Adams’ Amazingly Accurate Answer.] — вовсе не 42, да простят меня фанаты Дугласа Адамса и его книги «Автостопом по галактике» [В юмористическом фантастическом романе Адамса «Автостопом по галактике» (издана на русском языке: Адамс Д. Автостопом по галактике. М.: АСТ, 2002) специальный суперкомпьютер «Думатель» находит «ответ на главный вопрос жизни, Вселенной и всего такого», и это оказывается 42. Прим. пер.]. Тем не менее «Думатель» был на верном пути: тайна Вселенной действительно «математична».
Анализ для всех
Замечание Фейнмана о языке Бога поднимает массу глубоких вопросов. Что такое анализ? Как люди поняли, что на этом языке говорит Бог (или, если вам так больше нравится, что на нем работает Вселенная)? Что такое дифференциальные уравнения и что они сделали для мира, причем не только во времена Ньютона, но и в наши дни? И наконец, как доходчиво рассказать эти истории и идеи, чтобы их с удовольствием восприняли такие доброжелательные читатели, как Герман Воук, — вдумчивые, любопытные, образованные, но имеющие смутное представление о высшей математике?
В эпилоге рассказа о встрече с Фейнманом Воук писал, что в течение четырнадцати лет даже не пытался заняться анализом. Его роман разросся до двух больших романов — «Ветры войны» и «Война и память», примерно по тысяче страниц каждый. После окончания работы над ними он попытался учиться по книгам с названиями типа «Анализ в легком изложении», но безуспешно. Он копался в нескольких учебниках в надежде, как он выразился, «найти то, что помогло бы математическому невежде вроде меня, который в колледже занимался гуманитарными науками, то есть литературой и философией, в подростковом поиске смысла существования; при этом я лишь знал, что анализ (о котором я слышал как о скучной и бесполезной вещи) — это язык, на котором говорит Бог» [Wouk, The Language God Talks, 6.]. Однако учебники оказались неприступными, и тогда он нанял израильского преподавателя математики, чтобы подучиться анализу и подтянуть разговорный иврит, но обе надежды опять не оправдались. Вконец отчаявшись, он стал слушать курс анализа в старших классах школы, но почувствовал, что сильно отстал, и сдался через пару месяцев. Когда он уходил, дети хлопали. Он сказал, что это было похоже на сочувствующие аплодисменты после провального выступления на сцене.
Я написал «Бесконечные силы», пытаясь сделать величайшие идеи матанализа доступными каждому. Чтобы узнать об этих эпохальных событиях в истории, вам незачем повторять печальный опыт Германа Воука. Анализ — одно из самых вдохновляющих достижений человечества, и чтобы оценить его, вовсе не обязательно им заниматься — как необязательно уметь готовить изысканные блюда, чтобы насладиться такой едой. Я постараюсь объяснить все, что нам надо, с помощью картинок, метафор и анекдотов, а также покажу вам некоторые самые красивые из когда-либо созданных уравнений и доказательств, ведь разве можно посетить галерею, не увидев ее шедевров? Что касается Германа Воука, то на момент написания книги ему было 103 года [Герман Воук скончался в мае 2019 года в возрасте 103 лет. Прим. пер.]. Я не знаю, выучил ли он анализ, но если еще нет, то она для вас, мистер Воук!
Мир согласно анализу
Как вам уже, должно быть, понятно, я собираюсь изложить историю и значение анализа с точки зрения прикладного математика. Историк математики рассказал бы все иначе [Исторические аспекты проблемы представлены в книгах: Boyer, The History of the Calculus, и Grattan-Guinness, From the Calculus. Dunham, The Calculus Gallery; Edwards, The Historical Development; и Simmons, Calculus Gems, которые рассказывают историю анализа на примере некоторых наиболее красивых задач и их решений.], собственно, как и чистый математик. Что восхищает меня как прикладника — так это наличие связи между реальным миром вокруг нас и идеальным миром в наших головах. Внешние явления обусловливают вопросы, которые мы задаем, и наоборот, математика, которую мы воображаем, иногда предсказывает то, что произойдет в реальности. Когда такое случается, эффект просто поражает.
Заниматься прикладной математикой [Stewart, In Pursuit of the Unknown; Higham et al., The Princeton Companion; и Goriely, Applied Mathematics, передают дух, широту и практичность прикладной математики.] — значит смотреть вовне и быть «интеллектуально неразборчивым». Для специалистов в этой области математика не чистый и герметичный мир теорем и доказательств [Kline, Mathematics in Western Culture, и Newman, The World of Mathematics, соединяют математику с более широкой культурой. Я провел много времени в старших классах, читая эти два шедевра.], отражающих самих себя. Мы охватываем все виды предметов: философию, политику, историю, медицину и так далее. Именно такую историю я и собираюсь вам рассказать — мир, соответствующий анализу.
Это гораздо более широкий взгляд на анализ. Он включает множество родственных дисциплин, как смежных, так и в рамках математики. Поскольку такой широкий взгляд непривычен, я хочу убедиться, что он не вызывает никакой путаницы. Например, когда я говорил, что без анализа у нас не было бы компьютеров, мобильных телефонов и так далее, я вовсе не имел в виду, что именно математика сама по себе создала все эти чудеса. Отнюдь нет. Наука и технология были важными партнерами — возможно, главными звездами шоу. Я просто хочу сказать, что анализ также сыграл не последнюю роль (пусть часто и вспомогательную) в том, чтобы мир стал таким, каким мы его знаем.
Возьмем историю беспроводной связи. Все началось с открытия законов электричества и магнетизма [О математике и физике смотрите Maxwell, On Physical Lines of Force, и Purcell, Electricity and Magnetism. О понятиях и истории смотрите Kline, Mathematics in Western Culture, 304–21; Schaffer, The Laird of Physics; и Stewart, In Pursuit of the Unknown, глава 11. Биографию Максвелла и Фарадея смотрите в книге: Forbes and Mahon, Faraday, Maxwell.] такими учеными, как Майкл Фарадей и Андре-Мари Ампер. Без их наблюдений и размышлений важнейшие факты о магнитах, электрическом токе и их невидимых силовых полях остались бы неизвестными и никогда бы не появилась беспроводная связь. Очевидно, что в этой области знаний нельзя было обойтись без экспериментальной физики, но и анализ был совершенно необходим. В 1860-х годах шотландский математик Джеймс Максвелл выразил экспериментальные законы электричества и магнетизма в символьной форме, которую можно было изучать методами математического анализа. После некоторых манипуляций появилось уравнение, которое не имело смысла. Судя по всему, в физике чего-то не хватало. Максвелл подозревал, что виноват закон Ампера, и попытался внести исправления, добавив в уравнение новый член — гипотетический ток, который мог бы разрешить противоречие, а затем снова применил анализ. На этот раз получился разумный результат — простое и элегантное волновое уравнение [Stewart, In Pursuit of the Unknown, глава 8.], очень похожее на уравнение, описывающее распространение ряби в пруду. Разница была в том, что результат Максвелла давал новый вид волн, где электрические и магнитные поля вместе исполняли па-де-де. Изменяющееся электрическое поле порождает изменяющееся магнитное поле, которое, в свою очередь, снова порождает изменяющееся электрическое поле, и так далее — поля влияют друг на друга и распространяются вместе в виде энергетической волны. Вычислив скорость этой волны, Максвелл обнаружил — и это был один из величайших моментов в истории науки, — что она распространяется со скоростью света. Таким образом, с помощью анализа он не только предсказал существование электромагнитных волн, но и решил вековую загадку природы света. Он пришел к выводу, что свет — это электромагнитная волна.
