В Плоском мире фазовые пространства реальны. Вымышленные альтернативы к единственному действительному состоянию тоже существуют, можно даже попасть внутрь фазового пространства и побродить там — если, конечно, знаете нужные заклинания, секретные входы и прочую магическую атрибутику. Б-пространство наглядно это демонстрирует. В Круглом мире мы можем притвориться, будто фазовые пространства существуют, и даже вообразить, будто используем его географию. Это притворство в результате оказалось весьма поучительным.

То, что связано с любой физической системой, становится фазовым пространством, или пространством возможностей. Если рассматривать Солнечную систему, то ее фазовое пространство включает в себя все возможные способы расположить одну звезду, девять планет, значительное количество звезд и огромное множество астероидов. Если рассматривать кучу песка, то ее фазовое пространство включает в себя все возможные варианты расположения миллионов песчинок. Если рассматривать термодинамику, то ее фазовое пространство включает в себя все возможные расположения и скорости большого количества молекул газов. В действительности у каждой молекулы имеется по три координаты места и по три координаты скорости, так как они находятся в трехмерном пространстве. То есть у N молекул получается 6N координат. Если взять партию в шахматы, то фазовое пространство будет состоять из всех возможных положений фигур на доске. Если взять все возможные книги, то фазовым будет Б-пространство. А если же взять все возможные вселенные, то это будет В-пространство. Каждая его «точка» — это целая вселенная (и чтобы вместить ее, вам нужно придумать мультивселенную).

Когда космологи думают об изменении естественных постоянных — как мы описывали во второй главе, касаясь углеродного резонанса, возникающего на звездах, — они думают лишь об одном крошечном и довольно очевидном кусочке В-пространства, который можно извлечь и из нашей вселенной, изменив фундаментальные постоянные, но сохранив в силе законы. Существует бесконечное множество способов создать альтернативную вселенную: от вселенных со 101 измерением и абсолютно иными законами до идентичных нашей, только с шестью атомами диспрозия в ядре звезды Процион, которые превращаются в йод по четвергам.

Из этого примера становится очевидным, что фазовые пространства, прежде всего, имеют достаточно крупные размеры. В действительности же вселенная — это лишь крошечная частичка того, чем могла быть вместо этого. Представьте на мгновение, что на парковке сто мест, а машины на ней могут быть красными, синими, зелеными, белыми или черными. Сколько тогда окажется машин каждого из цветов, если все места будут заняты? Неважно, каких они марок, хорошо ли или плохо припаркованы, — сконцентрируйтесь только на их цвете.

Математики называют данный тип задач «комбинаторикой» и для их решения используют несколько разумных способов. Грубо говоря, комбинаторика — это искусство считать без фактических подсчетов. Много лет назад один наш знакомый математик случайно заметил, как ректор считает лампочки на потолке лекционного зала. Те были расположены в форме идеальной прямоугольной сетки, 10 на 20. Ректор смотрел на потолок и считал: 49, 50, 51…

— Их двести, — сказал математик.

— Откуда вы знаете?

— Ну, они составляют прямоугольник 10 на 20. Если перемножить, то получается 200.

— Нет, нет, — ответил ректор. — Я хочу знать точно [Эти статистики даже не умеют как следует вести свою статистику. Стоит ли здесь удивляться?].

Но вернемся к нашим машинам. У нас пять цветов, и каждое место на парковке может быть занято только одним из них. Значит, первое место имеет пять вариантов цветов, второе — тоже пять и так далее. Любой вариант заполнения первого места может сочетаться с любым вариантом заполнения второго, тогда первые два места могут быть заняты 5×5=25 вариантами. Каждый из них может сочетаться с любым из пяти вариантов заполнения третьего места, таким образом уже получается 25×5=125 возможностей. В итоге получится, что количество вариантов, которыми можно занять парковку, будет составлять 5×5×5 … ×5, со ста пятерками. Это 5100, что отнюдь не мало. Если быть точным, то это

78886090522101180541172856528278622

96732064351090230047702789306640625

(мы разбили это число на две строки, чтобы оно поместилось на ширине страницы), то есть состоит из 70 цифр. Кстати, компьютеру понадобилось около пяти секунд, чтобы получить это число, и примерно 4,999 из них потребовалось на ввод соответствующей команды. Остальное время занял вывод результата на экран. Так что теперь вы понимаете, почему комбинаторику называют искусством считать без фактических подсчетов. Если бы вы просто начали считать: 1, 2, 3, 4 …, то вы бы не скоро закончили. Так что ректору повезло, что он не был начальником парковки.

Насколько велико Б-пространство? Библиотекарь сказал, что оно бесконечно, и это утверждение истинно, если под бесконечностью вы подразумеваете «число, гораздо большее того, что можно представить», если вы не ставите верхнего предела для объема книг [Посещение любого книжного магазина в аэропорту покажет вам, насколько это разумно.] или если вы допускаете все возможные алфавиты, слоговые азбуки и пиктограммы. Если же принимать во внимание только книги стандартного размера на английском языке, то их предположительное количество можно снизить.

Средняя книга содержит около 100 000 слов или 600 000 символов (букв и пробелов, знаки препинания учитывать не будем). В английском алфавите 26 букв плюс пробел, то есть 27 символов, которые занимают 600 000 возможных позиций. Принцип подсчета, который мы применили в задаче о парковке, свидетельствует о том, что максимальное количество букв с такими параметрами составит 27600000, а это, грубо говоря, 10860000 (или 860000-значное число). Разумеется, большинство этих «книг» будет иметь мало смысла, потому что мы не поставили условия, чтобы буквы складывались в понятные слова. Если допустить, что словарный запас книги будет составлять 10 000 слов, и попробовать посчитать способы расположения 100 000 слов, то книг останется 10 000100000, что равняется 10400000, а это хоть и значительно меньше, но по-прежнему невероятно много. При этом большинство из них все равно будут лишены смысла, в них было бы написано что-то наподобие: «Капустный патроним забыл запрещать вражеская сущность» [Ценители творчества Джеймса Джойса будут в ярости, если мы исключим «Поминки по Финнегану», сложенные именно из таких фраз.]. Поэтому, наверное, стоит еще просчитать с учетом возможных предложений… Но даже если мы это сделаем, получится, что на то, чтобы вместить все эти книги в физическом виде, не хватит всей вселенной. Зато здесь на помощь приходит Б-пространство, и мы теперь знаем, почему на полках никогда не бывает достаточно места. Нам приятно думать, что наши видные библиотеки, такие как Британская библиотека или Библиотека Конгресса, достаточно велики. Но на самом деле объем ныне существующих книг — это лишь крошечная часть Б-пространства, всех книг, которые могут существовать. И вообще, мы никогда не напишем все эти книги.

Точка зрения Пуанкаре о фазовом пространстве оказалась настолько полезной, что сегодня ее можно обнаружить в любой области науки — и не науки тоже. Больше всего фазовых пространств приходится на экономику. Допустим, национальная экономика охватывает миллионы различных товаров, включающих сыры, велосипеды, крыс на палочке и так далее. У каждого из них есть своя цена: скажем, кусок сыра стоит 2,35 фунта, велосипед — 499,99, крыса на палочке — 15. То есть состояние экономики представляет собой список из миллиона чисел. Фазовое пространство состоит из всех возможных списков, включая те, у которых вообще нет никакого экономического смысла. Например, список, согласно которому велосипед стоит 2 пенса, а крыса 999 999 999,95 фунта. Экономисты занимаются тем, чтобы определять принципы, по которым выбираются действительные списки из пространства всех возможных.

Классическим принципом этого выбора является закон спроса и предложения, который гласит: если товар дефицитен, а вы очень-очень хотите его приобрести, то цена на него повышается. Иногда так и происходит, впрочем, нередко случается наоборот. Поиски таких законов напоминает черную магию, а их результаты не вполне убедительны, но это свидетельствует лишь о сложности экономической науки. И, несмотря на неутешительные результаты, образ мыслей всякого экономиста представляет собой точку зрения фазового пространства.

Следующая коротенькая история демонстрирует, насколько экономическая теория далека от реальности. Основой общепринятой экономики является представление о рациональном агенте, обладающем самой точной информацией и максимизирующем полезность. Согласно такому предположению, таксист, например, будет организовывать свою работу так, чтобы заработать максимальную сумму денег, приложив минимальные усилия.

Доход таксиста зависит от нескольких обстоятельств. В лучшие дни, когда у него много пассажиров, он зарабатывает хорошо. В плохие дни — нет. Следовательно, рациональный таксист должен дольше работать в хорошие дни и пораньше заканчивать в плохие. Однако исследование работы нью-йоркских таксистов, проведенной Колином Кэмерером, дало совершенно противоположные результаты. Похоже, таксисты устанавливают для себя дневную норму и прекращают работу, как только достигают нужной отметки. Поэтому они меньше работают в хорошие дни и больше — в плохие. Если бы они работали одинаковое количество часов каждый день, то могли бы увеличить свой доход на 8 %, не увеличивая средней продолжительности рабочего дня. А если бы работали дольше в хорошие дни и меньше в плохие, то их доход вырос бы на 15 %. Но у них не столь хорошо развита интуиция для выбора экономического фазового пространства, чтобы так поступать. Им, как и многим другим людям, свойственно придавать слишком большое значение настоящему и мало заботиться о будущем.

Насыщена фазовыми пространствами и биология. Первым широкое распространение получило ДНК-пространство. Связанное с каждым живым организмом, оно является его геномом, цепочкой химических молекул, называющихся ДНК. Молекула ДНК имеет форму двойной спирали, то есть представляет собой две спирали, закрученные вокруг общего ядра. Каждая спираль состоит из цепочек «оснований», или «нуклеотидов», которые могут быть четырех видов: цитозин, гуанин, аденин, тимин. Как правило, они обозначаются буквами Ц, Г, А и Т, соответственно. Последовательности двух цепочек комплеменарны: если Ц оказывается в одной спирали, то во второй обязательно будет Г, и то же самое с А и Т. То есть ДНК содержит две копии последовательностей, так сказать, одну положительную и одну отрицательную. Говоря абстрактно, геном можно представить последовательностью этих четырех букв типа ААТГГЦЦТЦАГ… которая может быть достаточно длинной. Геном человека, к примеру, содержит порядка трех миллиардов букв.

Фазовое пространство для геномов, или ДНК-пространство, состоит из всех возможных последовательностей заданной длины. Если говорить о человеке, то ДНК-пространство будет включать в себя все возможные последовательности из трех миллиардов букв Ц, Г, А и Т. Насколько оно велико? Выражаясь математическим языком и по аналогии со случаем с машинами на парковке, ответ таков: 4×4×4 × … ×4, с тремя миллиардами четверок. То есть 43000000000. Это число гораздо больше того 70-значного, что мы получили в задаче о парковке. И гораздо больше количества стандартных книг в Б-пространстве. В нем около 1 800 000 000 цифр. Если вы запишете его, помещая на каждой странице по 3000 цифр, вам понадобится тетрадь с 600 000 листами, чтобы все это вместить.

Представление о ДНК-пространстве весьма полезно для генетиков, занимающихся изучением возможных изменений в последовательностях ДНК, таких как «точечные мутации», при которых меняется всего одна буква кода, скажем, в результате ошибки при копировании. Или воздействия высокоэнергетического космического луча. В частности, вирусы мутируют так стремительно, что нет смысла говорить о зараженных особях как о чем-то постоянном. Вместо этого биологи называют их квазивидами и представляют их как группы родственных последовательностей в ДНК-пространстве. Эти группы по прошествии времени перемещаются, но держатся вместе, что позволяет вирусу сохранить свою индивидуальность.

За всю историю человечества жило не более десяти миллиардов людей — всего лишь 11-значное число. Это неимоверно крошечная часть от всех тех возможностей. То есть люди использовали лишь крупинку ДНК-пространства, как и книги использовали лишь крупинку Б-пространства. Разумеется, самые интересные вопросы не столь просты. Большинство буквенных последовательностей не складывается в книгу, начиненную смыслом, а большинство цепочек ДНК не подходят для жизнеспособного организма, не говоря уже о человеке.

Вот мы и подошли к критической точке фазовых пространств. В физике разумно допускать, что имеющее смысл фазовое пространство можно «предопределить», прежде чем задаваться вопросом, насколько оно отвечает системе. В воображаемом фазовом пространстве мы можем представить себе любую расстановку небесных тел в Солнечной системе. У нас нет технической возможности, чтобы это осуществить, но представить такое нам не составляет труда, к тому же у нас нет физических причин, чтобы исключать какую-либо расстановку из нашего рассмотрения.

Когда дело касается ДНК, важнейший вопрос заключается не в этом огромном пространстве всех возможных последовательностей. Почти все они не подходят какому-либо организму, пусть даже мертвому. Что нам действительно нужно рассмотреть, это «жизнеспособное ДНК-пространство», то есть пространство всех цепочек ДНК, которые могут принадлежать жизнеспособным организмам. Это невероятно сложная, но очень маленькая часть ДНК-пространства, и нам не известно, что она из себя представляет. Мы понятия не имеем, как можно рассмотреть гипотетическую последовательность ДНК и определить, подходит ли она для жизнеспособного организма или нет.

Та же проблема возникает в отношении Б-пространства, но здесь одна особенность. Грамотный человек, взглянув на последовательность букв и пробелов, может определить, содержит ли она историю или нет; он знает, как «прочитать» код и понять заключенный в нем смысл, если владеет языком, на котором тот написан. Он даже может попытаться решить, хорошая она или плохая. Однако мы не знаем, как развить эту способность для компьютеров. Правила, которыми руководствуется наш разум, чтобы распознавать истории, заложены в сети нервных клеток в наших мозгах. Никому еще не удавалось эти правила выразить. Мы не знаем, как охарактеризовать параметры читаемых книг в Б-пространстве.

В случае с ДНК проблема усугубляется еще и тем, что нет никакого определенного правила, которое «переводило» бы код ДНК в организм. Раньше биологи считали, что такой должен существовать, и возлагали большие надежды на изучение этого «языка». Тогда ДНК реального (потенциального) организма представляла бы собой закодированную последовательность, сообщавшую связную историю о биологическом развитии, а все остальные последовательности были бы просто тарабарщиной. В действительности же биологи предполагали, что смогут посмотреть на цепочку ДНК тигра и увидеть в ней фрагменты, отвечающие за полоски, когти и так далее.

Это было довольно оптимистично. На данный момент мы можем увидеть кусок ДНК, отвечающий за белки, из которого сделаны когти, или кусок, отвечающий за оранжевые, черные и белые пигменты, которые окрашивают шерсть полосками — но все это очень далеко от нашего понимания истории ДНК. Сейчас становится ясно, что в развитии организма также участвуют многие факторы, не имеющие отношения к генетике, поэтому «языка», который переводил бы ДНК в живые создания, не может существовать в принципе. К примеру, ДНК тигра превращается в тигренка только при наличии яйцеклетки матери. При такой же ДНК и яйцеклетке мангуста никакого тигра не получится.

Хотя, возможно, это лишь техническая проблема: что для каждого кода ДНК существует уникальный вид материнского организма, который превращает его в живое создание, поэтому форма этого создания все же заложена в коде. Но теоретически, по крайней мере, один и тот же код ДНК может создать два абсолютно разных организма. Пример этого мы приводим в книге «Гибель хаоса», в которой развивающийся организм впервые «видит», в чреве какой матери находится, а затем выбирает путь развития в зависимости от увиденного.

Гуру сложных задач Стюарт Кауффман поставил эту проблему еще на один уровень выше. Он указывает, что если в физике мы можем предопределить фазовое пространство системы, то в биологии этого никогда не будет возможным. Биологические системы более креативны, чем физические: организация материи внутри живых созданий имеет иную качественную природу, чем в неорганических материях. В частности, организмы способны эволюционировать, после чего, как правило, они становятся еще более сложными. Например, рыбоподобные предки людей были гораздо проще, чем мы. (Мы не устанавливали мер сложности, но это утверждение верно в случаях с большинством таких разумных мер, поэтому давайте не будем углубляться в понятия.) Эволюция не всегда сопровождается повышением сложности, но когда так случается, это совсем сбивает нас с толку.

Кауффман противопоставляет две системы. Первая — традиционная для физики термодинамическая модель, состоящая из N молекул газа (имеющих вид жестких сфер), перемещающихся в 6N-мерном фазовом пространстве. Это пространство известно нам заранее, и мы можем точно определить его динамику и вывести основные законы. Среди них присутствует и второй закон термодинамики, который утверждает, что с высочайшей долей вероятности по прошествии времени система станет менее упорядоченной и молекулы равномерно распространятся по вмещающему их пространству.

Вторая система — это «биосфера», или эволюционирующая экология. В этом случае с используемым фазовым пространством не все ясно. Потенциальные возможности либо слишком велики, либо слишком ограниченны. Допустим на мгновение, что давняя мечта биологов сбылась и язык ДНК живых организмов оказался правдой. Тогда мы могли бы использовать пространство ДНК как наше фазовое пространство.

Однако, как мы только что увидели, лишь крошечная и запутанная часть этого пространства представляет реальный интерес — правда, нам не известно, какая именно это часть. Если сюда добавить то, что такого языка, возможно, и не существует вовсе, то весь этот метод рассыпается в прах. С другой стороны, если фазовое пространство слишком мало, то обоснованные изменения могли бы вообще вывести организмы за его пределы. Например, пространство тигра можно было определить по количеству полосок на теле большой кошечки. Но если котик однажды эволюционирует и вместо полосок у него появятся пятна, для этого не останется места в тигрином фазовом пространстве. Конечно, это уже не тигр… хотя его мать и была тигрицей. Мы не можем разумно исключать такие новшества, если хотим понять реальную биологию.

Организмы эволюционируют, претерпевают изменения. Иногда эволюцию можно рассматривать как открытие новых участков фазового пространства, которые просто сидели и ждали этого, не занятые другими организмами. Если окрас и узор на теле насекомого чуть-чуть изменятся, то мы увидим открытие новых участков определенного «пространства насекомого». Но если у него появится совершенно новая особенность, например крылья, то кажется, что само фазовое пространство претерпело изменения.